定义 $d\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)=\left|\overrightarrow a-\overrightarrow b\right|$ 为两个向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 间的“距离”．若向量 $\overrightarrow a,\overrightarrow b$ 满足：
① $\left|\overrightarrow b\right|=1$；② $\overrightarrow a \ne \overrightarrow b$；③ 对任意的 $t\in \mathbb R$，恒有 $d\left(\overrightarrow a,t\overrightarrow b\right)\geqslant d\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)$，则 \((\qquad)\)
① $\left|\overrightarrow b\right|=1$；② $\overrightarrow a \ne \overrightarrow b$；③ 对任意的 $t\in \mathbb R$，恒有 $d\left(\overrightarrow a,t\overrightarrow b\right)\geqslant d\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right)$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $m=\overrightarrow a\cdot \overrightarrow n$．
由题意得$$d^2\left(\overrightarrow a,t\overrightarrow b\right)\geqslant d^2\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right),$$化简整理得$$t^2-2mt+2m-1\geqslant 0,$$故对 $\forall t\in \mathbb R$，上式恒成立，因此$$\Delta=4m^2-4(2m-1)=4(m-1)^2\leqslant 0,$$于是 $m=1$，从而有$$\overrightarrow b\cdot \left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)=1-1=0,$$故 $\overrightarrow b\perp \left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)$．
由题意得$$d^2\left(\overrightarrow a,t\overrightarrow b\right)\geqslant d^2\left(\overrightarrow a,\overrightarrow b\right),$$化简整理得$$t^2-2mt+2m-1\geqslant 0,$$故对 $\forall t\in \mathbb R$，上式恒成立，因此$$\Delta=4m^2-4(2m-1)=4(m-1)^2\leqslant 0,$$于是 $m=1$，从而有$$\overrightarrow b\cdot \left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)=1-1=0,$$故 $\overrightarrow b\perp \left(\overrightarrow a-\overrightarrow b\right)$．
题目
答案
解析
备注
