设函数 $f(x)=\dfrac{a^2+a\sin x+2}{a^2+a\cos x+2}$（$x\in \mathbb R$）的最大值为 $M(a)$，最小值为 $m(a)$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
当 $a=0$ 时，$M(a)=m(a)=1$；
当 $a\ne 0$ 时，有$$f(x)=\dfrac{\sin x-\left[-\left(a+\dfrac 2a\right)\right]}{\cos x -\left[-\left(a+\dfrac 2a\right)\right]},$$设点 $A\left(\cos x,\sin x\right)$，$B\left(-\left(a+\dfrac 2a\right),-\left(a+\dfrac 2a\right)\right)$，则 $f(x)$ 的几何意义即直线 $AB$ 的斜率．点 $A$ 为单位圆上的动点，点 $B$ 为两条射线上的定点，根据图形的对称性可得 $M(a)\cdot m(a)=1$．
当 $a\ne 0$ 时，有$$f(x)=\dfrac{\sin x-\left[-\left(a+\dfrac 2a\right)\right]}{\cos x -\left[-\left(a+\dfrac 2a\right)\right]},$$设点 $A\left(\cos x,\sin x\right)$，$B\left(-\left(a+\dfrac 2a\right),-\left(a+\dfrac 2a\right)\right)$，则 $f(x)$ 的几何意义即直线 $AB$ 的斜率．点 $A$ 为单位圆上的动点，点 $B$ 为两条射线上的定点，根据图形的对称性可得 $M(a)\cdot m(a)=1$．
题目
答案
解析
备注
