已知 $\{a_n\}$ 是等差数列,$S_n$ 为其前 $n$ 项和.若正整数 $i,j,k,l$ 满足 $i\leqslant k \leqslant l \leqslant j$,且 $i+j=k+l$,则 \((\qquad)\)
A: $a_ia_j\leqslant a_ka_l$
B: $a_ia_j\geqslant a_ka_l$
C: $S_iS_j\leqslant S_kS_l$
D: $S_iS_j\geqslant S_kS_l$
【难度】
【出处】
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据等差数列通项和前 $n$ 项和形式上的特点,不妨设 $a_n=a+nd$,$S_n=An^2+Bn$,则有$$a_{m+n}\cdot a_{m-n}=\left[a+(m+n)d\right]\cdot \left[a+(m-n)d\right]=\left(a+md\right) ^2-n^2d^2,$$于是由 $n_1\geqslant n_2$ 可得$$f(n_1)\leqslant f(n_2),$$选项 A 正确,选项 B 错误.
另一方面,\[\begin{split} S_{m+n}\cdot S_{m-n}&=\left[A(m+n)^2+B(m+n)\right]\cdot\left[A(m-n)^2+B(m-n)\right]\\&=(m^2-n^2)\cdot\left[A(m+n)+B\right]\cdot\left[A(m-n)+B\right]\\&=(m^2-n^2)\cdot\left[(Am+B)^2-A^2n^2\right], \end{split}\]因此 $g(n)$ 对 $n$ 并不具有一致的单调性,$g(n_1)$ 与 $g(n_2)$ 的大小关系不定,选项 C、D 错误.
题目 答案 解析 备注
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