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设 $\left\{a_n\right\}$ 是任意等比数列，它的前 $n$ 项和，前 $2n$ 项和与前 $3n$ 项和分别为 $X,Y,Z$，则下列等式中恒成立的是 \((\qquad)\)
A: $X+Z=2Y$
B: $Y\left(Y-X\right)=Z\left(Z-X\right)$
C: $Y^2=XZ$
D: $Y\left(Y-X\right)=X\left(Z-X\right)$
【难度】
【出处】
2010年高考安徽卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等比数列及其性质
    >
    等比数列的局部相似性
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等比数列及其性质
    >
    等比数列的前n项和
【答案】
D
【解析】
根据等比数列的局部相似性，有 $X,Y-X,Z-Y$ 成等比数列，于是$$(Y-X)^2+X(Y-X)=X(Z-Y)+X(Y-X),$$即$$Y(Y-X)=X(Z-X).$$
题目 答案 解析 备注
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