设函数 ${f_1}\left( x \right) ={x^2}$，${f_2}\left( x \right) = 2\left({x -{x^2}}\right)$，${f_3}\left( x \right) = \dfrac{1}{3}\left|{\sin 2{\mathrm \pi}x}\right|$，${a_i}= \dfrac{i}{99}$，$i = 0,1,2, \cdots ,99$．记 ${I_k}= \left|{{f_k}\left({a_1}\right) -{f_k}\left({a_0}\right)}\right| + \left|{{f_k}\left({a_2}\right) -{f_k}\left({a_1}\right)}\right| + \cdots + \left|{{f_k}\left({{a_{99}}}\right) -{f_k}\left({{a_{98}}}\right)}\right|$，$k = 1,2,3$，则 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
如图（为了便于观察，将原题中的 $100$ 个点修改为了 $20$ 个点），所求 $I_k$ 的几何意义就是散点图的相邻点位差的总和（简称位差和）．定义函数图象的位差和为自变量从 $0$ 到 $1$ 上变化时，对应的函数图象上的点在 $y$ 轴上的投影所经过的路程．比较散点图和函数图象可知，如果出现“高峰”或者“低谷”，则可能有位差和的损失．而避免位差和损失的唯一方法就是将“峰顶”或者“谷底”包含在离散点集内．对于左图和中图，函数图象的位差和显然为 $1$，因此很容易得到 $I_1=1$，而 $I_2<1$（因为 $a_i\neq \dfrac 12$，$i=0,1,2,\cdots ,99$）．对于右图，图象的位差和为 $\dfrac 43$，在转化为散点图的时候位差和有所损失，但损失极小，因此 $I_3\approx \dfrac 43$．于是 $I_2<I_1=1<I_3<\dfrac 43$．
题目
答案
解析
备注
