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$ \odot {O_1}$ 和 $ \odot {O_2}$ 外切于点 $C$，$ \odot {O_1}, \odot {O_2}$ 都和 $ \odot O$ 内切，切点分别为 $A,B$．设 $\angle AOB=\alpha$，$\angle ACB=\beta$，则下列结论不正确的是 \((\qquad)\)
A: $\cos\beta+\sin\dfrac{\alpha}2=0$
B: $\sin\beta-\cos\dfrac{\alpha}{2}=0$
C: $\sin 2\beta+\sin\alpha=0$
D: $\sin 2\beta-\sin \alpha=0$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
连接 $OC,{O_1}{O_2}$．设 $\angle OAC = \angle {O_1}CA = {\theta _1} $，$ \angle {O_2}CB = \angle OBC = {\theta _2}$，则$$\alpha = {\rm{\pi }} - 2{\theta _1} - 2{\theta _2},\beta = \alpha + {\theta _1} + {\theta _2} = {\rm{\pi }} - {\theta _1} - {\theta _2},$$于是 ${\rm{\pi }} - \alpha = 2\left( {{\rm{\pi }} - \beta } \right)$，即 $2\beta = \alpha + {\rm{\pi }}$．
题目 答案 解析 备注
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