已知函数 $f(x)$（$x\in\mathbb R$）满足 $f(-x)=2-f(x)$，若函数 $y=\dfrac{x+1}{x}$ 与 $y=f(x)$ 图象的交点为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots ,(x_m,y_m)$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{m}(x_i+y_i)=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
根据题意，函数 $f(x)$ 和函数 $y=\dfrac{x+1}x$ 都关于点 $(0,1)$ 对称，不妨设 $x_1<x_2<\cdots <x_m$，那么有点 $(x_1,y_1)$ 与点 $(x_m,y_m)$，点 $(x_2,y_2)$ 与点 $(x_{m-1},y_{m-1})$，$\cdots $ 都关于点 $(0,1)$ 对称，即$$x_1+x_m=x_2+x_{m-1}=\cdots =x_m+x_1=0,$$且$$y_1+y_m=y_2+y_{m-1}=\cdots =y_m+y_1=2,$$从而倒序相加，可得$$\sum\limits_{i=1}^{m}(x_i+y_i)=\dfrac 12\cdot 2m=m.$$选B．
题目
答案
解析
备注
