设函数 $f\left(x\right)=\begin{cases}
3x-1,&x<1,\\2^x,&x\geqslant 1,
\end{cases}$ 则满足 $f\left(f\left(a\right)\right)=2^{f\left(a\right)}$ 的 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
3x-1,&x<1,\\2^x,&x\geqslant 1,
\end{cases}$ 则满足 $f\left(f\left(a\right)\right)=2^{f\left(a\right)}$ 的 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
令 $b=f(a)$，则由于 $f(x)$ 的值域是 $\bf R$，因此 $b$ 的取值范围是 $\bf R$．
此时 $f(b)=2^b$，也就是 $b$ 为函数 $f(x)$ 与 $y=2^x$ 的公共点的横坐标，不难得知 $b$ 的范围是 $[1,+\infty)$．因此 $a$ 的取值范围由不等式$$f(a)\geqslant 1$$确定，结合 $f(x)$ 是单调递增函数（如图），可得 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 23,+\infty \right)$．
此时 $f(b)=2^b$，也就是 $b$ 为函数 $f(x)$ 与 $y=2^x$ 的公共点的横坐标，不难得知 $b$ 的范围是 $[1,+\infty)$．因此 $a$ 的取值范围由不等式$$f(a)\geqslant 1$$确定，结合 $f(x)$ 是单调递增函数（如图），可得 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac 23,+\infty \right)$．
题目
答案
解析
备注
