设 $a^{2}+b^{2}=1,b\ne 0$，若直线 $ax+by=2$ 和椭圆 $\dfrac{x^{2}}{6}+\dfrac{y^{2}}{2}=1$ 有公共点，则 $\dfrac{a}{b}$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
将 $y=\dfrac{2-ax}{b}$ 代入椭圆方程并整理得\[(3a^{2}+b^{2})x^{2}-12ax+12-6b^{2}=0.\]因直线和椭圆有公共点，则判别式\[(12a)^{2}-4(3a^{2}+b^{2})(12-6b^{2})\geqslant 0,\]利用 $a^{2}+b^{2}=1$，化简得$$a^{2}\geqslant b^{2},$$所以 $\left|\dfrac{a}{b}\right|\geqslant 1$，即 $\dfrac{a}{b}\in (-\infty,-1]\cup [1,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
