若对所有实数 $x$，均有 $\sin^{k}x\cdot \sin kx+\cos^{k}x\cdot \cos kx=\cos^{k}2x$，则 $k$ 为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
记$$f(x)=\sin ^{k}x\cdot \sin kx+\cos^{k}x\cos kx-\cos ^{k}2x,$$则由题意知对于任意的 $x,f(x)$ 恒为 $0$．
若取 $x=\dfrac{\pi}{2}$，可得$$\sin \dfrac{kx}{2}=(-1)^{k},$$故选项中只有 $k=3$ 满足题意．
若取 $x=\dfrac{\pi}{2}$，可得$$\sin \dfrac{kx}{2}=(-1)^{k},$$故选项中只有 $k=3$ 满足题意．
题目
答案
解析
备注
