设 $n$ 为正整数，且 $3n+1$ 与 $5n-1$ 皆为完全平方数，对于以下两个命题：（甲）$7n+13$ 必为合数；（乙）$8(17n^{2}+3n)$ 必为两个平方数的和．你的判断是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛江西省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $3n+1=a^{2}$，$5n-1=b^{2}$，$a,b$ 为正整数，则\[\begin{split}7n+13&=9(3n+1)-4(5n-1)\\&=(3a)^{2}-(2b)^{2}\\&=(3a-2b)(3a+2b).\end{split}\]由此知，$3a-2b$ 为正整数且 $3a-2b\ne 1$．
因为若 $3a-2b=1$，则\[27n+9=(3a)^{2}=(2b+1)^{2},\]即\[27n=4(b^{2}+b-2),\]则 $4\mid n$．
记 $n=4k$，得$$5n-1=20k-1$$不为平方数，矛盾，所以 $3a-2b\geqslant 2$．
因此由 ① 式得，$7n+13$ 为合数．
又因为\[\begin{split}8(17n^{2}+3n)&=[(3n+1)+(5n-1)][4(3n+1)+(5n-1)]\\&=(a^{2}+b^{2})[(2a)^{2}+b^{2}]\\&=(2a^{2}+b^{2})^{2}+(ab)^{2},\end{split}\]所以命题乙正确．
因为若 $3a-2b=1$，则\[27n+9=(3a)^{2}=(2b+1)^{2},\]即\[27n=4(b^{2}+b-2),\]则 $4\mid n$．
记 $n=4k$，得$$5n-1=20k-1$$不为平方数，矛盾，所以 $3a-2b\geqslant 2$．
因此由 ① 式得，$7n+13$ 为合数．
又因为\[\begin{split}8(17n^{2}+3n)&=[(3n+1)+(5n-1)][4(3n+1)+(5n-1)]\\&=(a^{2}+b^{2})[(2a)^{2}+b^{2}]\\&=(2a^{2}+b^{2})^{2}+(ab)^{2},\end{split}\]所以命题乙正确．
题目
答案
解析
备注
