等差数列 $\{a_n\}$ 中，$a_1>0$，$3a_8=5a_{13}$，则部分和 $S_n$ 中最大的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年浙江省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
由题意知 $3a_8=5a_{13}$，所以$$3(a_1+7d)=5(a_1+12d),$$故$$d=-\dfrac 2{39}a_1<0,$$因此 $\{a_n\}$ 是单调递减数列．
又因为$$\begin{split}a_n&=a_1+(n-1)\left(-\dfrac 2{39}a_1\right)\\&=a_1\left[1-\dfrac 2{39}(n-1)\right]\\&>0,\end{split}$$所以 $n<20.5$．
由此可得当 $n=20$ 时，$S_n$ 最大．
又因为$$\begin{split}a_n&=a_1+(n-1)\left(-\dfrac 2{39}a_1\right)\\&=a_1\left[1-\dfrac 2{39}(n-1)\right]\\&>0,\end{split}$$所以 $n<20.5$．
由此可得当 $n=20$ 时，$S_n$ 最大．
题目
答案
解析
备注
