设 $\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac{x}{2}\mathrm{i}\right)^{2008}=f(x)+\mathrm{i}g(x)$，其中 $f(x),g(x)$ 均为实系数多项式，则 $f(x)$ 的系数之和是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
取 $x=1$，则$$\left(\dfrac{\sqrt3}{2}+\dfrac12\mathrm{i}\right)^{2008}=f(1)+\mathrm{i}g(1),$$即有$$\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{2008}=f(1)+\mathrm{i}g(1),$$从而$$\left(\cos\dfrac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^4=f(1)+\mathrm{i}g(1),$$即$$\cos\dfrac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\dfrac{2\pi}{3}=f(1)+g(1)=-\dfrac12+\dfrac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}.$$
题目
答案
解析
备注
