六个家庭依次编号为 $1,2,3,4,5,6$．每家三人，大家一起聚会做游戏，游戏按每组三人依次进行，那么同一组的成员来自不同家庭的概率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
从 $18$ 个人中选出 $3$ 人，不同的选择方法有 $\mathrm{C}_{18}^{3}=816$．
因为一个家庭的三个人编号是相同的，为使所选的组员编号不同，应先从 $6$ 个编号中选出 $3$ 个号，有 $\mathrm{C}_6^3$ 种选法．对每一个编号再选人，又有 $3$ 种选法．
因此，选出的小组成员来自不同家庭的选法为$$\mathrm{C}_6^3\cdot3^3=540,$$故一个小组的三个成员来自不同家庭的概率为 $\dfrac{45}{68}$．
因为一个家庭的三个人编号是相同的，为使所选的组员编号不同，应先从 $6$ 个编号中选出 $3$ 个号，有 $\mathrm{C}_6^3$ 种选法．对每一个编号再选人，又有 $3$ 种选法．
因此，选出的小组成员来自不同家庭的选法为$$\mathrm{C}_6^3\cdot3^3=540,$$故一个小组的三个成员来自不同家庭的概率为 $\dfrac{45}{68}$．
题目
答案
解析
备注
