若实数 $x,y$ 满足 $(x-3)^2+4(y-1)^2=4$，则 $\dfrac{x+y-3}{x-y+1}$ 的最大值和最小值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛甘肃省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设$$\begin{cases}x=3+2\cos\theta,\\y=1+\sin\theta,\end{cases}$$则$$t=\dfrac{x+y-3}{x-y+1}=\dfrac{2\cos\theta+\sin\theta+1}{2\cos\theta-\sin\theta+3},$$化为$$(2t-2)\cos\theta-(t+1)\sin\theta+3t-1=0.$$由万能公式得$$(t+1)\tan^2\dfrac{\theta}{2}-2(t+1)\tan\dfrac{\theta}{2}+5t-3=0.$$当 $t\ne-1$ 时，$$\Delta=4(t+1)^2-4(t+1)(5t-3)\geqslant0,$$所以 $-1<t\leqslant 1$．
当 $t=-1$ 时，$\cos\theta=-1$ 有意义．
当 $t=-1$ 时，$\cos\theta=-1$ 有意义．
题目
答案
解析
备注
