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已知函数 $f\left(x\right) ={{\mathrm{e}}^x}+{{\mathrm{e}}^{- x}}$，正数 $a$ 满足：存在 ${x_0}\in \left[1 , + \infty \right)$，使得 $f\left({x_0}\right) < a\left( -x_0^3 + 3{x_0}\right)$ 成立，下列说法正确的是 \((\qquad)\)
A: $f\left(x\right)$ 是 ${\mathbb{R^+}}$ 上的增函数
B: $f\left(x\right)$ 是 ${\mathbb{R}}$ 上的偶函数
C: $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac{{\rm e}+{\rm e}^{-1}}2,+\infty\right)$
D: 存在 $a$，使得 ${\rm e} ^{a-1}>a^{{\rm e} -1}$
【难度】
【出处】
2014年高考江苏卷
【标注】
  • 数学竞赛
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    函数与方程
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    导数
  • 知识点
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    函数
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    函数的图象与性质
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    函数的奇偶性
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    微积分初步
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    导数问题中的技巧
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    构造辅助函数
【答案】
ABD
【解析】
选项A由对勾函数的单调性，可知 $f(x)$ 是 $\mathbb R^+$ 上的增函数．
选项B函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathbb R$，对任意 $x\in{\mathbb R}$，有$$f(-x)={\rm e} ^{-x}+{\rm e} ^{x}=f(x),$$因此 $f(x)$ 是 $\mathbb R$ 上的偶函数．
选项CD先确定 $a$ 的取值范围．根据题意有$$\exists x\geqslant 1,{\rm e} ^x+{\rm e} ^{-x}<a(-x^3+3x),$$即$$\exists x\geqslant 1,{\rm e} ^x+{\rm e} ^{-x}+ax^3-3ax<0,$$令上述命题中不等式左侧函数为 $g(x)$，则函数 $g(x)$ 的导函数$$g'(x)={\rm e} ^x-{\rm e} ^{-x}+3a(x^2-1),$$因此在区间 $[1,+\infty )$ 上，$g'(x)\geqslant 0$，因此 $g(x)$ 单调递增，于是由题意可知$$g(1)={\rm e} +{\rm e}^{-1} -2a<0,$$解得 $a>\dfrac{{\rm e} +{\rm e} ^{-1}}2$．
接下来比较 ${\rm e} ^{a-1}$ 与 $a^{{\rm e} -1}$ 的大小，只需要比较 $a-1$ 和 $({\rm e}-1)\ln a$ 的大小．记$$\varphi(a)=a-1-({\rm e}-1)\ln a,$$则其导函数$$\varphi'(a)=\dfrac {a-({\rm e}-1)}{a},$$因此在 $(0,{\rm e} -1)$ 上函数 $\varphi(a)$ 单调递减，在 $\left({\rm e} -1,+\infty \right)$ 上，函数 $\varphi(a)$ 单调递增，又注意到 $\varphi(1)=\varphi({\rm e} )=0$，因此当 $a\in\left(\dfrac{{\rm e} +{\rm e} ^{-1}}2,{\rm e} \right)$ 时，${\rm e} ^{a-1}<a^{{\rm e} -1}$；当 $a={\rm e}$ 时，${\rm e}^{a-1}=a^{{\rm e} -1}$；当 $a\in\left({\rm e},+\infty \right)$ 时，${\rm e} ^{a-1}>a^{{\rm e} -1}$．
题目 答案 解析 备注
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