$\triangle ABC$ 的三个内角 $A,B,C$ 依次成等差数列，$\sin A,\sin B,\sin C$ 依次成等比数列，则 $\triangle ABC$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
因为 $A,B,C$ 依次成等差数列，所以 $B=60^{\circ}$．
因为 $\sin^{2}B=\sin A\sin C$，所以\[\sin^260^{\circ}=\sin A\sin (120^{\circ}-A),\]可知\[\begin{split}\dfrac{3}{4}&=\sin A\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\cos A+\dfrac{1}{2}\sin A\right)\\&=\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin A\cos A+\dfrac{1}{2}\sin^{2}A\\&=\dfrac{\sqrt 3}{4}\sin 2A+\dfrac{1-\cos 2A}{4},\end{split}\]因此$$\sin (2A-30^{\circ})=1.$$又因为 $0^{\circ}<A<120^{\circ}$，易知$$2A-30^{\circ}=90^{\circ},$$即 $A=60^{\circ}$，因此 $\triangle ABC$ 是等边三角形．
因为 $\sin^{2}B=\sin A\sin C$，所以\[\sin^260^{\circ}=\sin A\sin (120^{\circ}-A),\]可知\[\begin{split}\dfrac{3}{4}&=\sin A\left(\dfrac{\sqrt 3}{2}\cos A+\dfrac{1}{2}\sin A\right)\\&=\dfrac{\sqrt 3}{2}\sin A\cos A+\dfrac{1}{2}\sin^{2}A\\&=\dfrac{\sqrt 3}{4}\sin 2A+\dfrac{1-\cos 2A}{4},\end{split}\]因此$$\sin (2A-30^{\circ})=1.$$又因为 $0^{\circ}<A<120^{\circ}$，易知$$2A-30^{\circ}=90^{\circ},$$即 $A=60^{\circ}$，因此 $\triangle ABC$ 是等边三角形．
题目
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备注
