将 $5$ 名同学分配到 $A$，$B$，$C$ 三个宿舍中，每个宿舍至少安排 $1$ 名学生，其中甲同学不能分配到 $A$ 宿舍，那么不同的分配方案有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛河南省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
考虑三个宿舍名额的分配方案，由于$$5=3+1+1=2+2+1,$$故本题针对名额的分配情况，可将问题分为如下几类：
情形一 $5=3+1+1$
$A$ 宿舍 $3$ 人，$B$ 宿舍 $1$ 人，$C$ 宿舍 $1$ 人：$\mathrm C_4^3\mathrm C_2^1$；
$A$ 宿舍 $1$ 人，$B$ 宿舍 $3$ 人，$C$ 宿舍 $1$ 人：$\mathrm C_4^1\mathrm C_4^3$；
$A$ 宿舍 $1$ 人，$B$ 宿舍 $1$ 人，$C$ 宿舍 $3$ 人：$\mathrm C_4^1\mathrm C_4^1$．
情形二 $5=2+2+1$
$A$ 宿舍 $1$ 人，$B$ 宿舍 $2$ 人，$C$ 宿舍 $2$ 人：$\mathrm C_4^1\mathrm C_4^2$；
$A$ 宿舍 $2$ 人，$B$ 宿舍 $1$ 人，$C$ 宿舍 $2$ 人：$\mathrm C_4^2\mathrm C_3^1$；
$A$ 宿舍 $2$ 人，$B$ 宿舍 $2$ 人，$C$ 宿舍 $1$ 人：$\mathrm C_4^2\mathrm C_3^2$．
综上知，分配方案共有 $100$ 种，选B．
$A$ 宿舍 $3$ 人，$B$ 宿舍 $1$ 人，$C$ 宿舍 $1$ 人：$\mathrm C_4^3\mathrm C_2^1$；
$A$ 宿舍 $1$ 人，$B$ 宿舍 $3$ 人，$C$ 宿舍 $1$ 人：$\mathrm C_4^1\mathrm C_4^3$；
$A$ 宿舍 $1$ 人，$B$ 宿舍 $1$ 人，$C$ 宿舍 $3$ 人：$\mathrm C_4^1\mathrm C_4^1$．
$A$ 宿舍 $1$ 人，$B$ 宿舍 $2$ 人，$C$ 宿舍 $2$ 人：$\mathrm C_4^1\mathrm C_4^2$；
$A$ 宿舍 $2$ 人，$B$ 宿舍 $1$ 人，$C$ 宿舍 $2$ 人：$\mathrm C_4^2\mathrm C_3^1$；
$A$ 宿舍 $2$ 人，$B$ 宿舍 $2$ 人，$C$ 宿舍 $1$ 人：$\mathrm C_4^2\mathrm C_3^2$．
综上知，分配方案共有 $100$ 种，选B．
题目
答案
解析
备注
