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已知数列 $\{a_n\}$ 的通项 $a_n=\dfrac{nx}{(x+1)(2x+1)\cdots(nx+1)},n\in\mathbb N^*$，若 $a_1+a_2+\cdots+a_{2015}<1$，则实数 $x$ 的取值可以是  \((\qquad)\)
A: $-\dfrac32$
B: $-\dfrac{5}{12}$
C: $-\dfrac{9}{40}$
D: $-\dfrac{11}{60}$
【难度】
【出处】
2015年全国高中数学联赛浙江省预赛
【标注】
  • 知识点
    >
    代数变形
    >
    代数式的形
    >
    分拆与裂项
  • 知识点
    >
    不等式
    >
    解不等式
    >
    解高次不等式
【答案】
D
【解析】
化简得$$a_n=\dfrac{1}{(x+1)(2x+1)\cdots[(n-1)x+1]}-\dfrac{1}{(x+1)(2x+1)\cdots(nx+1)},$$所以$$\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2015}{a_k}=1-\dfrac{1}{(x+1)(2x+1)\cdots(2015x+1)}<1,$$故$$(x+1)(2x+1)\cdots(2015x+1)>0,$$所以$$x\in\left(-1,-\dfrac12\right)\cup\left(-\dfrac13,-\dfrac14\right)\cup\cdots\cup\left(-\dfrac{1}{2013},-\dfrac{1}{2014}\right)\cup\left(-\dfrac{1}{2015},+\infty\right).$$经检验只有 $x=-\dfrac{11}{60}$ 符合题意．
题目 答案 解析 备注
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