若集合 $M=\left\{x\mid\dfrac {|3-x|}{|5-x|}\leqslant \dfrac 12\right\}$ 和集合 $N=\{x\mid x^2-2x+c \leqslant 0\}$ 满足 $M\cap N=M$，则实数 $c$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
因为 $x \neq 5$，由$$\dfrac {|3-x|}{|5-x|} \leqslant \dfrac 12,$$得$$2|3-x|\leqslant |5-x|.$$情形一 当 $x \leqslant 3$ 时，$$2(3-x)\leqslant 5-x,$$解得 $x \geqslant 1$．
情形二 当 $3<x<5$ 时，$$2(x-3)\leqslant 5-x,$$解得 $x \leqslant \dfrac {11}{3}$．
情形三 当 $x>5$ 时，$$2(x-3)\leqslant x-5,$$无解．
因此$$M=\left\{x\left|1 \leqslant x \leqslant \dfrac {11}{3}\right.\right\}.$$又因为$$x^2-2x+c=0,$$解得 $x=1\pm \sqrt {1-c}$，所以$$N=\{x|1-\sqrt {1-c} \leqslant x \leqslant 1+\sqrt {1-c}\}.$$显然 $1-\sqrt {1-c} \leqslant 1$，所以只要$$1+\sqrt {1-c} \geqslant \dfrac {11}{3},$$即 $c \leqslant -\dfrac {55}{9}$，故有 $M\cap N=M$．
因此$$M=\left\{x\left|1 \leqslant x \leqslant \dfrac {11}{3}\right.\right\}.$$又因为$$x^2-2x+c=0,$$解得 $x=1\pm \sqrt {1-c}$，所以$$N=\{x|1-\sqrt {1-c} \leqslant x \leqslant 1+\sqrt {1-c}\}.$$显然 $1-\sqrt {1-c} \leqslant 1$，所以只要$$1+\sqrt {1-c} \geqslant \dfrac {11}{3},$$即 $c \leqslant -\dfrac {55}{9}$，故有 $M\cap N=M$．
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