已知 $-\dfrac {\pi}{2}<\alpha<\dfrac {\pi}{2}$，$2\tan \beta=\tan 2\alpha$，$\tan (\beta-\alpha)=-2\sqrt 2$．则 $\cos \alpha=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛山东省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
令 $\tan \alpha =\mu$．
由\[\begin{split}\tan \beta&=\dfrac 12\tan 2\alpha \\&=\dfrac {\tan \alpha}{1-\tan ^2\alpha}\\&=\dfrac {\mu}{1-\mu ^2},\end{split}\]得\[\begin{split}\tan(\beta-\alpha)&=\dfrac {\tan \beta-\tan \alpha}{1+\tan \beta \tan \alpha}\\ &=\dfrac {\dfrac {\mu}{1-\mu ^2}-\mu }{1+\mu \cdot \dfrac {\mu}{1-\mu ^2}}=\mu ^3.\end{split}\]所因为$$\tan (\beta-\alpha)=\mu ^3=-2\sqrt 2,$$所以 $\mu =\tan \alpha=-\sqrt 2$．
已知 $-\dfrac {\pi}{2}<\alpha<\dfrac {\pi}{2}$，所以 $-\dfrac {\pi}{2}<\alpha<0$，故$$\cos \alpha =\dfrac {1}{\sqrt {1+\tan ^2\alpha}}=\dfrac {\sqrt 3}{3}.$$
由\[\begin{split}\tan \beta&=\dfrac 12\tan 2\alpha \\&=\dfrac {\tan \alpha}{1-\tan ^2\alpha}\\&=\dfrac {\mu}{1-\mu ^2},\end{split}\]得\[\begin{split}\tan(\beta-\alpha)&=\dfrac {\tan \beta-\tan \alpha}{1+\tan \beta \tan \alpha}\\ &=\dfrac {\dfrac {\mu}{1-\mu ^2}-\mu }{1+\mu \cdot \dfrac {\mu}{1-\mu ^2}}=\mu ^3.\end{split}\]所因为$$\tan (\beta-\alpha)=\mu ^3=-2\sqrt 2,$$所以 $\mu =\tan \alpha=-\sqrt 2$．
已知 $-\dfrac {\pi}{2}<\alpha<\dfrac {\pi}{2}$，所以 $-\dfrac {\pi}{2}<\alpha<0$，故$$\cos \alpha =\dfrac {1}{\sqrt {1+\tan ^2\alpha}}=\dfrac {\sqrt 3}{3}.$$
题目
答案
解析
备注
