给定数列 $\{x_n\}$，$x_1=1$，且 $x_{n+1}=\dfrac{\sqrt3x_n+1}{\sqrt3-x_n}$，则 $\displaystyle \sum\limits_{n=1}^{2008}{x_n}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
根据题中等式特点，利用三角变形，令 $x_n=\tan a_n$，则$$x_{n+1}=\tan\left(a_n+\dfrac{\pi}{6}\right),$$因此$$x_{n+6}=x_n,$$故数列 $\{x_n\}$ 是周期为 $6$ 的周期数列．
又$$\begin{split}&x_1=1,x_2=2+\sqrt3,x_3=-2-\sqrt3,\\&x_4=-1,x_5=-2+\sqrt3,x_6=2-\sqrt3,\end{split}$$因此$$x_1+x_2+\cdots+x_6=0.$$又因为$$2008=334\cdot6+4,$$所以$$\sum\limits_{n=1}^{2008}{x_n}=x_1+x_2+x_3+x_4=0.$$
又$$\begin{split}&x_1=1,x_2=2+\sqrt3,x_3=-2-\sqrt3,\\&x_4=-1,x_5=-2+\sqrt3,x_6=2-\sqrt3,\end{split}$$因此$$x_1+x_2+\cdots+x_6=0.$$又因为$$2008=334\cdot6+4,$$所以$$\sum\limits_{n=1}^{2008}{x_n}=x_1+x_2+x_3+x_4=0.$$
题目
答案
解析
备注
