定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f\left(x+\dfrac32\right)+f(x)=0$，且函数 $y=f\left(x-\dfrac34\right)$ 为奇函数，给出下列命题：
$\text{ ① }$ 函数 $f(x)$ 的最小正周期是 $\dfrac32$；
$\text{ ② }$ 函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\dfrac34,0\right)$ 对称；
$\text{ ③ }$ 函数 $y=f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称．
其中真命题的个数是 \((\qquad)\)
$\text{ ① }$ 函数 $f(x)$ 的最小正周期是 $\dfrac32$；
$\text{ ② }$ 函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\dfrac34,0\right)$ 对称；
$\text{ ③ }$ 函数 $y=f(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称．
其中真命题的个数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
题中等式可化为$$f(x)=-f\left(x+\dfrac32\right)=f(x+3),$$显然 $\dfrac 32$ 不是 $f(x)$ 的周期．
由 $y=f\left(x-\dfrac 34\right)$ 是奇函数，得$$ f\left(-x-\dfrac34\right)=-f\left(x-\dfrac34\right),$$可知函数 $f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\dfrac34,0\right)$ 对称．
结合上述两式可得$$ f(x)=-f\left(x+\dfrac32\right)=f(-x-3)=f(-x),$$因此函数 $f(x)$ 为偶函数．
由 $y=f\left(x-\dfrac 34\right)$ 是奇函数，得$$ f\left(-x-\dfrac34\right)=-f\left(x-\dfrac34\right),$$可知函数 $f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\dfrac34,0\right)$ 对称．
结合上述两式可得$$ f(x)=-f\left(x+\dfrac32\right)=f(-x-3)=f(-x),$$因此函数 $f(x)$ 为偶函数．
题目
答案
解析
备注
