在区间 $[-1,1]$ 上随机取一个数 $x$，$\cos{\dfrac{\pi x}{2}}$ 的值介于 $0$ 与 $\dfrac 12$ 之间的概率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
由 $\cos{\dfrac{\pi x}{2}}=\dfrac 12$，得 $x=\pm \dfrac 23$．
又因为函数 $y=\cos{\dfrac{\pi x}{2}}$ 的周期为 $4$，由函数 $y=\cos{\dfrac{\pi x}{2}}$ 的图象可知，使 $\cos{\dfrac{\pi x}{2}}$ 的值介于 $0$ 到 $\dfrac 12$ 之间的点落在 $\left[-1,-\dfrac 23\right]$ 和 $\left[\dfrac 23,1\right]$ 之内，因此所求概率$$P=\dfrac{2\cdot \dfrac 13}{2}=\dfrac 13.$$
又因为函数 $y=\cos{\dfrac{\pi x}{2}}$ 的周期为 $4$，由函数 $y=\cos{\dfrac{\pi x}{2}}$ 的图象可知，使 $\cos{\dfrac{\pi x}{2}}$ 的值介于 $0$ 到 $\dfrac 12$ 之间的点落在 $\left[-1,-\dfrac 23\right]$ 和 $\left[\dfrac 23,1\right]$ 之内，因此所求概率$$P=\dfrac{2\cdot \dfrac 13}{2}=\dfrac 13.$$
题目
答案
解析
备注
