已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=0$，$a_{n+1}=a_n+1+2\sqrt{1+a_n}$（$n=1,2,\cdots$），则 $a_{2009}=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
由已知得$$a_{n+1}+1=a_n+1+2\sqrt{1+a_n}+1=\left(\sqrt{a_n+1}+1\right)^2.$$又因为 $a_{n+1}>0$，所以$$\sqrt{a_{n+1}+1}=\sqrt{a_n +1}+1,$$故数列 $\left\{\sqrt{a_n+1}\right\}$ 是首项为 $1$，公差为 $1$ 的等差数列，所以$$\sqrt{a_n+1}=n,$$即$$a_n=n^2-1=(n+1)(n-1),$$所以$$a_{2009}=2008\cdot 2010=4036080.$$
题目
答案
解析
备注
