已知函数 $f(x)=m|x-1|$（$m\in \mathbb R$，且 $m\ne 0$）．设向量 $\overrightarrow{a}=(1,\cos \theta)$，$\overrightarrow{b}=(2,2\sin \theta)$，$\overrightarrow{c}=(4\sin \theta ,1)$，$\overrightarrow{d}=\left(\dfrac 12 \sin \theta,1\right)$．当 $\theta \in \left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$ 时，$f\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right)$ 与 $f\left(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}\right)$ 的大小关系是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高一（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
易得 $f(x)$ 图象关于直线 $x=1$ 对称，当 $m>0$ 时，$f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递增；当 $m<0$ 时，$f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减．
计算可得\[\begin{split}&\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2+\sin {2\theta},\\&\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=2-\cos {2\theta}.\end{split}\]因为 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$，所以$$0<2\theta <\dfrac{\pi}{2},$$因此\[\begin{split}1<\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}<2<\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}<3,\end{split}\]进而可得：
$m>0$ 时，$f\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right)>f\left(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}\right)$；$m<0$ 时，$f\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right)<f\left(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}\right)$．
计算可得\[\begin{split}&\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=2+\sin {2\theta},\\&\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}=2-\cos {2\theta}.\end{split}\]因为 $\theta\in\left(0,\dfrac{\pi}{4}\right)$，所以$$0<2\theta <\dfrac{\pi}{2},$$因此\[\begin{split}1<\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}<2<\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}<3,\end{split}\]进而可得：
$m>0$ 时，$f\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right)>f\left(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}\right)$；$m<0$ 时，$f\left(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}\right)<f\left(\overrightarrow{c}\cdot \overrightarrow{d}\right)$．
题目
答案
解析
备注
