已知非零向量 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 满足 $\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 且 $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}\cdot \dfrac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\dfrac 12$，则 $\triangle{ABC}$ 为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2009年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
由于 $\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}$ 所在直线穿过 $\triangle{ABC}$ 的内心，故由 $\left(\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}+\dfrac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}\right)\cdot \overrightarrow{BC}=0$ 知$$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|,$$又$$\dfrac{\overrightarrow{AB}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|}\cdot \dfrac{\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\dfrac 12,$$所以$$\angle A=\dfrac{\pi}{3},$$即 $\triangle{ABC}$ 为等边三角形．
题目
答案
解析
备注
