已知 $\{a_n\}$ 是等比数列，$a_2=2,a_5=\dfrac14$，则 $a_1a_2+a_2a_3+\cdots+a_na_{n+1}$（$n\in\mathbb N^*$）的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
设 $\{a_n\}$ 的公比为 $q$，则$$q^3=\dfrac{a_5}{a_2}=\dfrac18,$$进而 $q=\dfrac12$，所以数列 $\{a_na_{n+1}\}$ 是以 $a_1a_2=8$ 为首项，以 $q^2=\dfrac14$ 为公比的等比数列．
设其前 $n$ 项和为 $S_n$，则$$S_n=\dfrac{a_1a_2(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{32}{3}(1-4^{-n}),$$显然，$8=a_1a_2\leqslant S_n<\dfrac{32}{3}$．
设其前 $n$ 项和为 $S_n$，则$$S_n=\dfrac{a_1a_2(1-q^n)}{1-q}=\dfrac{32}{3}(1-4^{-n}),$$显然，$8=a_1a_2\leqslant S_n<\dfrac{32}{3}$．
题目
答案
解析
备注
