连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为 $4$ 的球的两条弦 $AB$ 和 $CD$ 的长度分别等于 $2\sqrt7$ 和 $4\sqrt3$，$M,N$ 分别为 $AB,CD$ 的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
$\text{ ① }$ 弦 $AB,CD$ 可能相交于点 $M$；
$\text{ ② }$ 弦 $AB,CD$ 可能相交于点 $N$；
$\text{ ③ }$ $MN$ 的最大值为 $5$；
$\text{ ④ }$ $MN$ 的最小值为 $1$；
其中真命题为 \((\qquad)\)
$\text{ ① }$ 弦 $AB,CD$ 可能相交于点 $M$；
$\text{ ② }$ 弦 $AB,CD$ 可能相交于点 $N$；
$\text{ ③ }$ $MN$ 的最大值为 $5$；
$\text{ ④ }$ $MN$ 的最小值为 $1$；
其中真命题为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
假设 $AB,CD$ 相交于点 $N$，则 $AB,CD$ 共面，所以 $A,B,C,D$ 四点共圆．而过圆的弦 $CD$ 的中点 $N$ 的弦 $AB$ 的长度显然有 $AB\geqslant CD$，所以 $\text{ ② }$ 是错的；容易证明，当以 $AB$ 为直径的圆面与以 $AB$ 为直径的圆面与 $CD$ 为直径的圆面平面以 $CD$ 为直径的圆面平行且球心两侧时，$MN$ 最大为 $5$，故 $\text{ ③ }$ 对；当以 $AB$ 为直径的圆面与以 $CD$ 为直径的圆面平行且在球心同侧时，$MN$ 最小为 $1$，故 $\text{ ④ }$ 对．
题目
答案
解析
备注
