$5$ 名志愿者随机进入 $3$ 个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
$5$ 名志愿者随机进入 $3$ 个不同的奥运场馆的方法数为 $3^5=243$ 种，每个场馆至少有一名志愿者的情况可分两类考虑：
{\color{cyan}{情况一}} 一个场馆去 $3$ 个人，剩下两个场馆各去 $1$ 人，此类的方法数为 $\mathrm{C}_3^1\cdot\mathrm{C}_5^3\cdot\mathrm{A}_2^2=60$ 种；
{\color{cyan}{情况二}} 一个场馆去 $1$ 人，剩下两个场馆各 $2$ 人，此类的方法数为 $\mathrm{C}_3^1\cdot\mathrm{C}_5^1\cdot\mathrm{C}_4^2=90$ 种．
故每个场馆至少有一名志愿者的概率为 $P=\dfrac{60+90}{243}=\dfrac{50}{81}$．
{\color{cyan}{情况一}} 一个场馆去 $3$ 个人，剩下两个场馆各去 $1$ 人，此类的方法数为 $\mathrm{C}_3^1\cdot\mathrm{C}_5^3\cdot\mathrm{A}_2^2=60$ 种；
{\color{cyan}{情况二}} 一个场馆去 $1$ 人，剩下两个场馆各 $2$ 人，此类的方法数为 $\mathrm{C}_3^1\cdot\mathrm{C}_5^1\cdot\mathrm{C}_4^2=90$ 种．
故每个场馆至少有一名志愿者的概率为 $P=\dfrac{60+90}{243}=\dfrac{50}{81}$．
题目
答案
解析
备注
