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定义：过双曲线焦点的直线与双曲线交于 $A,B$，则线段 $AB$ 称为该双曲线的焦点弦．已知双曲线 $\dfrac{x^2}{25}-\dfrac{y^2}{9}=1$，那么过该双曲线左焦点，长度为整数且不超过 $2012$ 的焦点弦的条数是  \((\qquad)\)
A: $4005$
B: $4018$
C: $8023$
D: $8036$
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（一试）
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    解析几何
    >
    综合习题
【答案】
C
【解析】
情形一 点 $A,B$ 均在双曲线的左支时，根据焦半径公式II，$$|AB|\in\left[\dfrac{2b^2}{a},+\infty\right),$$又 $\dfrac{2b^2}{a}=\dfrac{18}{5}$，根据对称性，满足题意的焦点弦有$$2\cdot(2012-4+1)=4018,$$情形二 点 $A,B$ 在双曲线的两支上时，根据焦半径公式II，$$|AB|\in[2a,+\infty),$$又 $2a=10$，根据对称性，满足题意的焦点弦有$$2\cdot(2012-11+1)+1=4005,$$综上，满足题意的焦点弦的条数是 $8023$．
题目 答案 解析 备注
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