把分母为 $24$ 的所有最简真分数按从小到大的顺序排列，依次为 $a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}$，则 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\cos(a_{i}\pi)$ 的值 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
分母为 $24$ 的所有最简真分数有 $\dfrac{1}{24},\dfrac{5}{24},\dfrac{7}{24},\dfrac{11}{24},\dfrac{13}{24},\dfrac{17}{24},\dfrac{19}{24},\dfrac{23}{24}$，注意到\[\dfrac{1}{24}+\dfrac{23}{24}=\dfrac{5}{24}+\dfrac{19}{24}=\dfrac{7}{24}+\dfrac{17}{24}=\dfrac{11}{24}+\dfrac{13}{24}=1.\]因此 $\displaystyle \sum\limits_{i=1}^{n}\cos(a_{i}\pi)=0$．
题目
答案
解析
备注
