已知函数 $f(x)=x^{3}-\log_{2}(\sqrt{x^{2}+1}-x)$，则对于任意实数 $a,b,a+b\ne 0$，$\dfrac{f(a)+f(b)}{a^{3}+b^{3}}$ 的值 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
A
【解析】
因为\[\begin{split}f(-x)+f(x)&=-x^{3}-\log_{3}\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)+x^{3}-\log_{2}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\\&=-\log_{2}\left[\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)\right]\\&=0,\end{split}\]所以 $f(-x)=-f(x)$，即 $f(x)$ 为奇函数．又因为\[f(x)=x^{3}-\log_{2}\left(\sqrt{x^{2}+1}-x\right)=x^{3}+\log_{2}\left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)\]在 $(0,+\infty)$ 上单调递增，所以，$f(x)$ 在 $\mathbb R$ 上是增函数．注意到 $f(a)-f(b)$ 与 $a-(-b)$ 同号，所以 $\dfrac{f(a)+f(b)}{a+b}>0$，又因为 $a^{3}+b^{3}$ 与 $a+b$ 同号，故 $\dfrac{f(a)+f(b)}{a^{3}+b^{3}}>0$．
题目
答案
解析
备注
