设 $k,m,n$ 均为整数，过圆 $x^{2}+y^{2}=(3k+1)^{2}$ 外一点 $P(m^{3}-m,n^{3}-n)$ 向该圆引两条切线，切点分别为 $A,B$，则直线 $AB$ 上整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）有 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
易知，切点弦所在直线 $AB$ 的方程为\[(m^{3}-m)x+(n^{3}-n)y=(3k+1)^{2}.\]若直线 $AB$ 上存在整点 $(x_{0},y_{0})$，则有\[(m-1)m(m+1)x_{0}+(n-1)n(n+1)y_{0}=(3k+1)^{2}.\]因为 $(m-1)m(m+1)$ 和 $(n-1)n(n+1)y_{0}=(3k+1)^{2}$ 都是 $3$ 的倍数，所以上式左边能被 $3$ 整除．而右边被 $3$ 除余 $1$，矛盾．故直线 $AB$ 上不存在整点．
题目
答案
解析
备注
