首先，由费马小定理：
若 $a$ 与 $p$ 互素，则$$a^{p-1}≡1\pmod p .$$对于一个素数 $p$，取 $a=10$，那么$$10^{p-1}≡1\pmod p.$$如果找到一个正整数 $e$ 使得 $\dfrac {10^e}{p}-\dfrac 1p$ 为整数，那么 $e$ 就是 $\dfrac 1p$ 的循环节．
由费马小定理知，在不大于 $p-1$ 的正整数中，$e$ 是存在的．
这还意味着，$\dfrac 1p$ 的第一个循环节正好就在小数点后面，是个纯循环小数．
因为 $p-1$ 是个合数，所以$$10^{p-1}-1=(10^{p_1}-1)(10^{p-1-p_1}+10^{p-1-2p_1}+\cdots+1),$$其中 $p_1$ 为 $p-1$ 的因数．
如果有一个比 $p-1$ 小的 $e$ 满足 $\dfrac {10^e}{p}-\dfrac 1p$ 为整数，那么这个 $e$ 一定是 $p$ 的约数．
引理：一个循环小数除以 $2$，其循环节大小不变
证明：
每个循环节中的数字都是偶数，显然不变．
如果是奇数，可以将本循环节最后的那个奇数码拿出一个 $1$ 给后一个循环节，这样新循环节就又是偶数了，但这个循环节是有重合的．比如 $0.45454545...$ 就变成 $0.44+0.0144+0.00144...$ 前面虽然多了些不是循环节的部分，不过循环节部分的位数不受影响．
因为$$2008=2^3\times 251,$$而 $251$ 是素数，这样，我们只要求得 $\dfrac {1}{251}$ 的循环节长度即可．
因为$$10^{250}≡1\pmod {251},$$如果有更小的 $e$ 满足$$10^e≡1\pmod {251},$$那么 $e$ 是 $250$ 的因数，$250$ 的因数有 $2,5,10,25,50,250 $．
因为$$10^3≡-4\pmod {251},$$所以$$10^5≡-400≡102\pmod {251},$$故 $10^{5}$ 不满足要求；
因为$$10^{10}≡10404≡113\pmod {251},$$所以 $10^{10}$ 不满足要求；
因为$$10^{20}≡12769≡-32\pmod {251},$$所以 $10^{20}$ 不满足要求；
因为$$10^{25}≡-3264≡-1\pmod {251},$$所以 $10^{25}$ 不满足要求；
因为$$10^{50}≡1\pmod {251},$$所以 $10^{50}$ 满足要求．
因此循环节的长度为 $50$．