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已知向量 $\overrightarrow{OA}=(-2,0)$，$\overrightarrow{OB}=(2,2)$，$\overrightarrow{BC}=\left(\sqrt2\cos\theta,\sqrt2\sin\theta\right)$，其中 $0\leqslant\theta<2\pi$，则向量 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OC}$ 的夹角的取值范围是  \((\qquad)\)
A: $\left[\dfrac{7\pi}{6},\dfrac{11\pi}{7}\right]$
B: $\left[\dfrac{7\pi}{12},\dfrac{11\pi}{12}\right]$
C: $\left[\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right]$
D: $\left[\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}\right]$
【难度】
【出处】
2012年第二十三届“希望杯”全国数学邀请赛高二（二试）
【标注】
  • 数学竞赛
    >
    平面向量
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    平面向量
【答案】
B
【解析】
由题可知 $A(-2,0),B(2,2)$，点 $C$ 在以 $B$ 为圆心，$2$ 为半径的圆周上，如图．其中点 $D,E$ 是过 $O$ 作圆的切线的切点，有$$\angle BOD=\angle BOE=\dfrac{\pi}{6},$$结合 $\angle AOB=\dfrac{3\pi}{4}$，因此夹角的取值范围是 $\left[\dfrac{7\pi}{12},\dfrac{11\pi}{12}\right]$．
题目 答案 解析 备注
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