已知抛物线 $C:y^2=8x$ 的焦点为 $F$，准线与 $x$ 轴的交点为 $K$，点 $A$ 在 $C$ 上且 $|AK|=\sqrt 2|AF|$，则 $\triangle AFK$ 的面积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
因为抛物线 $C:y^2=8x$ 的焦点为 $F(2,0)$，准线为 $x=-2$，所以 $K(-2,0)$．设 $A(x_0,y_0)$，过 $A$ 点向准线作垂线 $AB$，则 $B(-2,y_0)$，由于 $|AK| =\sqrt 2|AF|$，又$$AF=AB=x_0-(-2)=x_0+2,$$所以，由 $BK^2=AK^2-AB^2$，得 $y_0^2=(x_0+2)^2$，即 $8x_0=(x_0+2)^2$，解得 $A(2,\pm 4)$，所以 $\triangle AFK$ 的面积为$$\dfrac 12|KF|\cdot |y_0|=\dfrac 12 \times 4\times 4=8.$$
题目
答案
解析
备注
