空间中一点 $P$ 到三条两两垂直的射线 $OA$、$OB$、$OC$ 的距离分别为 $\sqrt 3$、$2$、$\sqrt 5$，且垂足分别为 $A'$、$B'$、$C'$，则三棱锥 $P-A'B'C'$ 的体积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛黑龙江省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
设 $OA'$、$OB'$、$OC'$ 的长度分别为 $a$、$b$、$c$，则$$\begin{cases}a^2+b^2=5,\\ b^2+c^2=3,\\ c^2+a^2=4.\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a^2=3,\\ b^2=2,\\ c^2=1.\end{cases} $$由体积分割可得 $V_{\text{整}}=abc$，$$V_{P-A'B'C'}=abc-\dfrac 46abc=\dfrac 13abc=\dfrac {\sqrt 6}{3}.$$
题目
答案
解析
备注
