设多项式 $(1+x)^{2008}=a_0+a_1x+\cdots+a_{2008}x^{2008}$，则 $a_0,a_1,\cdots,a_{2008}$ 中偶数的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
D
【解析】
列举 $a_k={\rm C}_{2008}^k$ 中的奇数项，其中 $k\in \mathbb N$．
易知当 $k$ 取以下值时，$a_k$ 为奇数：$$\begin{split}&0,8,16,24,\\&64,72,80,88,\\&128,136,144,162,\\&\cdots\cdots \end{split}$$每四项为一组，注意到每组和的差为 $8$，且每组第一项的差值为 $64$，所以奇数项总共有$$\left(\left[\dfrac {2009}{64}\right]+1\right)\times 4=128$$项，其中 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数．
因此偶数的个数为$$2009-128=1881.$$
易知当 $k$ 取以下值时，$a_k$ 为奇数：$$\begin{split}&0,8,16,24,\\&64,72,80,88,\\&128,136,144,162,\\&\cdots\cdots \end{split}$$每四项为一组，注意到每组和的差为 $8$，且每组第一项的差值为 $64$，所以奇数项总共有$$\left(\left[\dfrac {2009}{64}\right]+1\right)\times 4=128$$项，其中 $[x]$ 为不超过 $x$ 的最大整数．
因此偶数的个数为$$2009-128=1881.$$
题目
答案
解析
备注
