如图，在半径为 $r=1$ 的圆内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接六边形，如此无限继续下去，设 $S_n$ 为前 $n$ 个圆的面积之和．取正数 $\xi=3\pi\cdot \left(\dfrac 34\right)^{99}$，若 $|S_n-4\pi|<\xi$，则 $n$ 的取值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2010年湖南省高中数学竞赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
记第 $n$ 个圆的半径为 $r_n$，易知半径 $r_n=\dfrac{\sqrt 3}{2}r_{n-1}$，圆面积 $a_n=\dfrac 34a_{n-1}$，$a_1=\pi r_1^2=\pi$，所以这些圆面积成等比数列，$$S_n=\dfrac{1-\left(\dfrac 34\right)^n}{1-\dfrac 34}\cdot \pi r_1^2=4\pi\left[1-\left(\dfrac 34\right)^n\right],$$由\[\begin{split}|S_n-4\pi|&=\left|4\pi\left[1-\left(\dfrac 34\right)^n\right]-4\pi\right|\\&=4\pi\cdot \left(\dfrac 34\right)^n\\&<3\pi \cdot \left(\dfrac 34\right)^{99},\end{split}\]得 $\left(\dfrac 34\right)^n<\left(\dfrac 34\right)^{100}$，$n>100$．
题目
答案
解析
备注
