在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有 $3$ 名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛共进行了 $50$ 场，那么上述 $3$ 名选手之间比赛的场数是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛湖南省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
设这 $3$ 名选手之间比赛的场数是 $r$，共 $n$ 名选手参赛，依题意有 ${\rm C}_{n-3}^{2}+(6-r)=50$，即\[\dfrac{(n-3)(n-4)}{2}=44+r.\]因为 $0\leqslant r\leqslant 3$，所以分 $4$ 种情况讨论：
① 当 $r=0$ 时，有 $(n-3)(n-4)=88$，即 $n^{2}-7n-76=0$，但它没有正整数解，故 $r\ne 0$；
② 当 $r=1$ 时，有 $(n-3)(n-4)=90$，解得 $n=13$，故 $r=1$ 符合题意；
③ 当 $r=2$ 时，有 $(n-3)(n-4)=92$，即 $n^{2}-7n-80=0$，但他没有正整数解，故 $r\ne 2$；
④ 当 $r=3$ 时，有 $(n-3)(n-4)=94$，即 $n^{2}-7n-82=0$，但它没有正整数解，故 $r\ne 3$．
① 当 $r=0$ 时，有 $(n-3)(n-4)=88$，即 $n^{2}-7n-76=0$，但它没有正整数解，故 $r\ne 0$；
② 当 $r=1$ 时，有 $(n-3)(n-4)=90$，解得 $n=13$，故 $r=1$ 符合题意；
③ 当 $r=2$ 时，有 $(n-3)(n-4)=92$，即 $n^{2}-7n-80=0$，但他没有正整数解，故 $r\ne 2$；
④ 当 $r=3$ 时，有 $(n-3)(n-4)=94$，即 $n^{2}-7n-82=0$，但它没有正整数解，故 $r\ne 3$．
题目
答案
解析
备注
