对于任意的 $x\in\mathbb R$，不等式 $2x^2-a\sqrt{x^2+1}+3>0$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛贵州省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
原式可化简为$$a<\dfrac {2x^2+3}{\sqrt {x^2+1}}=2\sqrt {x^2+1}+\dfrac {1}{\sqrt {x^2+1}}.$$设 $t=\sqrt {x^2+1}$，则 $t\geqslant 1$．
设 $f(t)=2t+\dfrac 1t$，$t\geqslant 1$，只需令 $a<f_{min}(t)$．
因为$$f'(t)=2-\dfrac 1{t^2}>0,$$所以 $f(t)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，故$$f_{min}(t)=f(1)=3,$$因此 $a<3$．
设 $f(t)=2t+\dfrac 1t$，$t\geqslant 1$，只需令 $a<f_{min}(t)$．
因为$$f'(t)=2-\dfrac 1{t^2}>0,$$所以 $f(t)$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增，故$$f_{min}(t)=f(1)=3,$$因此 $a<3$．
题目
答案
解析
备注
