设有一体积为 $54$ 的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点作一个四面体，则所作四面体的体积为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
由对称性可知，所作的四面体也是正四面体．
设原四面体的棱长，体积分别为 $a_{1},V_{1}$，所作的四面体的棱长，体积为 $a_{2},V_{2}$，则由几何性质得$$\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{1}{3},$$故$$\dfrac{V_{2}}{V_{1}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3},$$所以所作的四面体的体积$$V_{2}=\dfrac{1}{27}V_{1}=2.$$
设原四面体的棱长，体积分别为 $a_{1},V_{1}$，所作的四面体的棱长，体积为 $a_{2},V_{2}$，则由几何性质得$$\dfrac{a_{2}}{a_{1}}=\dfrac{1}{3},$$故$$\dfrac{V_{2}}{V_{1}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3},$$所以所作的四面体的体积$$V_{2}=\dfrac{1}{27}V_{1}=2.$$
题目
答案
解析
备注
