已知椭圆 $\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}=1$ 的左顶点为 $A_{1}$，右焦点为 $F_{2}$．点 $P$ 为该椭圆上一动点，则当 $\overrightarrow{PA_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}$ 取最小值时，$\left|\overrightarrow{PA_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}}\right|$ 的值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
B
【解析】
由条件知 $a=2,b=\sqrt 3$，则 $c=1$，故 $A_{1}(-2,0),F_{2}(1,0)$．
设 $P(x,y)$，则\[\overrightarrow{PA}=(-2-x,-y),\overrightarrow{PF_{2}}=(1-x,y),\]于是\[\begin{split}\overrightarrow{PA_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}&=(x+2)(x-1)+y^{2}\\&=x^{2}+x-2+3\left(1-\dfrac{x^{2}}{4}\right)\\&=\dfrac{1}{4}x^{2}+x+1\\&=\dfrac{1}{4}(x+2)^{2} \geqslant 0,\end{split}\]当 $x=-2$ 时，等号成立．
因此，当 $P$ 与 $A_{1}$ 重合时，$\overrightarrow{PA_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}$ 取最小值，此时$$\left|\overrightarrow{PA_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}}\right|=\left|\overrightarrow{A_{1}F_{2}}\right|=3.$$
设 $P(x,y)$，则\[\overrightarrow{PA}=(-2-x,-y),\overrightarrow{PF_{2}}=(1-x,y),\]于是\[\begin{split}\overrightarrow{PA_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}&=(x+2)(x-1)+y^{2}\\&=x^{2}+x-2+3\left(1-\dfrac{x^{2}}{4}\right)\\&=\dfrac{1}{4}x^{2}+x+1\\&=\dfrac{1}{4}(x+2)^{2} \geqslant 0,\end{split}\]当 $x=-2$ 时，等号成立．
因此，当 $P$ 与 $A_{1}$ 重合时，$\overrightarrow{PA_{1}}\cdot \overrightarrow{PF_{2}}$ 取最小值，此时$$\left|\overrightarrow{PA_{1}}+\overrightarrow{PF_{2}}\right|=\left|\overrightarrow{A_{1}F_{2}}\right|=3.$$
题目
答案
解析
备注
