设 $\alpha \in\left(0,\dfrac{\pi}{2}\right)$，则 $\dfrac{\sin^{3}\alpha}{\cos\alpha }+\dfrac{\cos^{3}\alpha}{\sin\alpha}$ 的最小值为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2008年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
C
【解析】
化简得\[\dfrac{\sin^{3}\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\cos^{3}\alpha}{\sin \alpha}=\dfrac{\sin^{4}\alpha+\cos^{4}\alpha}{\sin\alpha \cos\alpha}=\dfrac{1-2(\sin \alpha \cos\alpha)^{2}}{\sin\alpha\cos\alpha}.\]令 $t=\sin\alpha\cos\alpha=\dfrac{1}{2}\sin 2\alpha \in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]$，则\[f(t)=\dfrac{1-2t^{2}}{t}=\dfrac{1}{t}-2t,\]在 $t\in \left(0,\dfrac{1}{2}\right]$ 上单调递减，所以\[f(t)_{\min}=f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1,\]即 $\dfrac{\sin^{3}\alpha}{\cos\alpha}+\dfrac{\cos^{3}\alpha}{\sin\alpha}$ 有最小值 $1$．
题目
答案
解析
备注
