在 $\triangle ABC$ 中，设内角 $A,B,C$ 的对边长分别为 $a,b,c$．命题 $p:B+C=2A$，且 $b+c=2a$；命题 $q:\triangle ABC$ 是正三角形．则命题 $p$ 是命题 $q$ 的 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛四川省预赛
【标注】
【答案】
A
【解析】
若命题 $q$ 成立，显然命题 $p$ 成立．
若命题 $p$ 成立，则 $A=60^\circ$，由余弦定理知：$a^2=b^2+c^2-bc$，于是$$4(b^2+c^2-bc)=(b+c)^2,$$即$$(b-c)^2=0,$$故 $b=c$．
所以 $\triangle ABC$ 为正三角形，即命题 $q$ 成立．所以命题 $p$ 是命题 $q$ 的充要条件．
若命题 $p$ 成立，则 $A=60^\circ$，由余弦定理知：$a^2=b^2+c^2-bc$，于是$$4(b^2+c^2-bc)=(b+c)^2,$$即$$(b-c)^2=0,$$故 $b=c$．
所以 $\triangle ABC$ 为正三角形，即命题 $q$ 成立．所以命题 $p$ 是命题 $q$ 的充要条件．
题目
答案
解析
备注
