设多项式 $Q(x)$ 的各项系数都是非负整数，且 $Q(1)=6$，$Q(3)=32$，则 $Q(2)$ 可以取 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2017年清华大学THUSSAT测试题
【标注】
【答案】
AD
【解析】
因为 $Q(x)$ 的各项系数均为非负整数，而 $Q(3)=32<3^4$，所以 $Q(x)$ 最多为三次多项式，令\[Q(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\]其中 $a,b,c,d\in\mathbb{N}$，则有\begin{align*}
a+b+c+d&=6,\\
27a+9b+3c+d&=32,
\end{align*}两式相减得 $26a+8b+2c=26$，所以当 $a=1$ 时，有 $b=c=0$，$d=5$，此时 $Q(2)=13$，A正确．
当 $a\ne 1$ 时，有 $a=0$，可以将 $b,c$ 用 $d$ 表示为$$b=\dfrac {7+d}3, c=\dfrac {11-4d}{3},$$从而只可能有 $(b,c,d)=(3,1,2)$，此时 $Q(2)=16$，D正确．
a+b+c+d&=6,\\
27a+9b+3c+d&=32,
\end{align*}两式相减得 $26a+8b+2c=26$，所以当 $a=1$ 时，有 $b=c=0$，$d=5$，此时 $Q(2)=13$，A正确．
当 $a\ne 1$ 时，有 $a=0$，可以将 $b,c$ 用 $d$ 表示为$$b=\dfrac {7+d}3, c=\dfrac {11-4d}{3},$$从而只可能有 $(b,c,d)=(3,1,2)$，此时 $Q(2)=16$，D正确．
题目
答案
解析
备注
