平面上的点 $P\left( {x , y} \right)$ 的坐标满足 $x \in {\mathbb{Q}}$，且 $y \in {\mathbb{Q}}$ 时，称 $P$ 为“有理点”．设 $r$ 是给定的正实数，则圆 ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 2 } \right)^2} = {r^2}$ 上的有理点的个数 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
若 $\left( {{x_1} , {y_1}} \right)$ 为有理点，则 $\left( {2 - {x_1} , {y_1}} \right)$ 为有理点．
若取 $r=\dfrac 32$，则$${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 2 } \right)^2} = \dfrac{9}{4},$$于是圆上有两个有理点 $\left( {\dfrac{1}{2} , 2} \right)$，$\left( {\dfrac{3}{2} , 2} \right)$．
下面证明不可能有两个有理点 $A$ $\left( {{x_1} , {y_1}} \right)$，$B$ $\left( {{x_2} , {y_2}} \right)$，其中 ${x_1} , {x_2} \leqslant 1$．
假设直线 $AB$ 斜率不存在，则 $x_1=x_2$，此时$$y_1+y_2=2\sqrt 2,$$与 $A,B$ 为有理点矛盾，因此 $AB$ 斜率存在．
又因为 $A,B$ 为有理点，所以 $k_{AB}$ 为非零的有理数．
设线段 $AB$ 的中点为 $M$，它为有理点，因此 $OM$ 的斜率不为有理数．
事实上，$$k_{AB}\cdot k_{OM}=-1,$$矛盾．
若取 $r=\dfrac 32$，则$${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - \sqrt 2 } \right)^2} = \dfrac{9}{4},$$于是圆上有两个有理点 $\left( {\dfrac{1}{2} , 2} \right)$，$\left( {\dfrac{3}{2} , 2} \right)$．
下面证明不可能有两个有理点 $A$ $\left( {{x_1} , {y_1}} \right)$，$B$ $\left( {{x_2} , {y_2}} \right)$，其中 ${x_1} , {x_2} \leqslant 1$．
假设直线 $AB$ 斜率不存在，则 $x_1=x_2$，此时$$y_1+y_2=2\sqrt 2,$$与 $A,B$ 为有理点矛盾，因此 $AB$ 斜率存在．
又因为 $A,B$ 为有理点，所以 $k_{AB}$ 为非零的有理数．
设线段 $AB$ 的中点为 $M$，它为有理点，因此 $OM$ 的斜率不为有理数．
事实上，$$k_{AB}\cdot k_{OM}=-1,$$矛盾．
题目
答案
解析
备注
