$A$、$B$ 是抛物线 $y=3-x^2$ 上关于直线 $x+y=0$ 对称的相异两点，则 $|AB|$ 等于 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
C
【解析】
{\bf{方法一}}\quad 因为点 $A$、$B$ 关于直线 $x+y=0$ 对称，所以 $k_{AB}=1$．
设直线 $AB$ 的方程为 $y=x+b$，代入 $y=3-x^2$，得\[x^2+x+b-3=0.\qquad \qquad \qquad \text{ ① }\]由 $\Delta=1-4(b-3)>0$，得 $b<\dfrac{13}4$．
设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，$AB$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，则\[x_0=\dfrac{x_1+x_2}2=-\dfrac 1 2.\]从而，\[y_0=x_0+b=b-\dfrac 1 2.\]又点 $M\left(-\dfrac 1 2,b-\dfrac 1 2\right)$ 在直线 $x+y=0$ 上，所以\[-\dfrac 1 2+b-\dfrac 1 2=0,\]即 $b=1$．
将 $b=1$ 代入\text{ ① }，得 $x^2+x-2=0$．解得 $x_1=-2,x_1=1$．
所以 $A(-2,-1)$、$B(1,2)$．故 $|AB|=3\sqrt 2$．
{\bf{方法二}}\quad 因为点 $A$、$B$ 关于直线 $x+y=0$ 对称，所以可设 $A(a,b)$、$B(-b,-a)$．又点 $A$、$B$ 在抛物线 $y=3-x^2$ 上，所以 $\begin{cases}b=3-a^2,\\-a=3-(-b)^2.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-2,\\b=-1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}$
不妨设 $A(-2,-1)$、$B(1,2)$，则 $|AB|=3\sqrt 2$．
设直线 $AB$ 的方程为 $y=x+b$，代入 $y=3-x^2$，得\[x^2+x+b-3=0.\qquad \qquad \qquad \text{ ① }\]由 $\Delta=1-4(b-3)>0$，得 $b<\dfrac{13}4$．
设 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，$AB$ 的中点为 $M(x_0,y_0)$，则\[x_0=\dfrac{x_1+x_2}2=-\dfrac 1 2.\]从而，\[y_0=x_0+b=b-\dfrac 1 2.\]又点 $M\left(-\dfrac 1 2,b-\dfrac 1 2\right)$ 在直线 $x+y=0$ 上，所以\[-\dfrac 1 2+b-\dfrac 1 2=0,\]即 $b=1$．
将 $b=1$ 代入\text{ ① }，得 $x^2+x-2=0$．解得 $x_1=-2,x_1=1$．
所以 $A(-2,-1)$、$B(1,2)$．故 $|AB|=3\sqrt 2$．
{\bf{方法二}}\quad 因为点 $A$、$B$ 关于直线 $x+y=0$ 对称，所以可设 $A(a,b)$、$B(-b,-a)$．又点 $A$、$B$ 在抛物线 $y=3-x^2$ 上，所以 $\begin{cases}b=3-a^2,\\-a=3-(-b)^2.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=-2,\\b=-1\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=1,\\b=2.\end{cases}$
不妨设 $A(-2,-1)$、$B(1,2)$，则 $|AB|=3\sqrt 2$．
题目
答案
解析
备注
