设函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$ 均为非零整数）．若 $f(a)=a^3,f(b)=b^3$，则 $c$ 的值是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛陕西省预赛（一试）
【标注】
【答案】
D
【解析】
设 $g(x)=f(x)-x^3=ax^2+bx+c$，则由\[f(a)=a^3,f(b)=b^3,\]得 $g(a)=g(b)=0$．
所以 $a$、$b$ 为方程 $g(x)=0$ 的两个根，则 $a+b=-\dfrac b a,ab=\dfrac c a$．消去 $b$，得\[c=-\dfrac{a^4}{a+1}=-(a^2+1)(a-1)-\dfrac 1{a+1}.\]因为 $c$ 为整数，所以 $a+1=\pm 1$，即 $a=0$（舍去）或 $a=-2$．故 $c=16$．
所以 $a$、$b$ 为方程 $g(x)=0$ 的两个根，则 $a+b=-\dfrac b a,ab=\dfrac c a$．消去 $b$，得\[c=-\dfrac{a^4}{a+1}=-(a^2+1)(a-1)-\dfrac 1{a+1}.\]因为 $c$ 为整数，所以 $a+1=\pm 1$，即 $a=0$（舍去）或 $a=-2$．故 $c=16$．
题目
答案
解析
备注
